Buatlah 3 soal induksi matematika berserta jawabanya

Buatlah 3 soal induksi matematika berserta jawabannya

1. Buktikan bahwa: 1 + 2 + 3 + .... + n = ½ n (n + 1), untuk setiap n bilangan asli
2. Buktikan pernyataan P(n) = n(n + 1)(n + 5) adalah bilangan kelipatan 3, untuk setiap n bilangan asli
3. Buktikan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4, untuk setiap n bilangan asli

Ada dua langkah dalam induksi matematika yaitu:

• Buktikan bahwa untuk n = 1 benar
• Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar

Pembahasan

1. Buktikan bahwa: 1 + 2 + 3 + .... + n = ½ n (n + 1), untuk setiap n bilangan asli

Pembuktian

Akan dibuktikan untuk n = 1 benar

n = ½ n (n + 1)

1 = ½ . 1 . (1 + 1)

1 = ½ . 1 . 2

1 = 1

(BENAR)

Jika untuk n = k benar yaitu

• 1 + 2 + 3 + .... + k = ½ k (k + 1)

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ½ (k + 1) ((k + 1) + 1)

|___________|

        ½ k (k + 1)   + (k + 1) = ½ (k + 1) (k + 2)

      ½ k (k + 1) + 1 (k + 1) = ½ (k + 1) (k + 2)

        (k + 1) (½ k + 1)         = ½ (k + 1) (k + 2)

        (k + 1) . ½ (k + 2)      = ½ (k + 1) (k + 2)

    ½ (k + 1) (k + 2)            = ½ (k + 1) (k + 2)

             |____________________|

                          Terbukti benar

Jadi terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + .... + n = ½ n (n + 1), untuk setiap n bilangan asli

2. Buktikan pernyataan P(n) = n(n + 1)(n + 5) adalah bilangan kelipatan 3, untuk setiap n bilangan asli

Pembuktian

Akan dibuktikan untuk n = 1 benar

P(n) = n(n + 1)(n + 5)

P(1) = 1(1 + 1)(1 + 5)

P(1) = 1(2)(6)

P(1) = 12

(benar bahwa 12 kelipatan dari 3)

Jika untuk n = k benar yaitu

• P(k) = k(k + 1)(k + 5) adalah bilangan kelipatan 3

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

P(k + 1) = (k + 1) ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 5)

P(k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 6)

P(k + 1) = (k + 1) (k² + 6k + 2k + 12)

P(k + 1) = (k + 1) (k² + 8k + 12)

P(k + 1) = (k + 1) (k² + 5k + 3k + 12)

P(k + 1) = (k + 1) ((k² + 5k) + (3k + 12))

P(k + 1) = (k + 1)(k² + 5k) + (k + 1)(3k + 12)

P(k + 1) = (k + 1)k(k + 5) + (k + 1)3(k + 4)

P(k + 1) = k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4)

• k(k + 1)(k + 5) adalah bilangan kelipatan 3 (berdasarkan n = k)
• 3(k + 1)(k + 4) sudah jelas merupakan bilangan kelipatan 3

Jadi

P(k + 1) = k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4) juga merupakan bilangan kelipatan 3

Jadi terbukti bahwa P(n) = n(n + 1)(n + 5) adalah bilangan kelipatan 3, untuk setiap n bilangan asli

3. Buktikan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4, untuk setiap n bilangan asli

Pembuktian

Akan dibuktikan untuk n = 1 benar

5ⁿ – 1

= 5¹ – 1

= 5 – 1

= 4

(benar bahwa 4 habis dibagi 4ᵏ)

Jika untuk n = k benar yaitu

• 5ᵏ – 1 habis dibagi 4

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

5ᵏ⁺¹ – 1

= 5ᵏ . 5¹ – 1

= 5ᵏ . 5 – 1

= 5ᵏ . (4 + 1) – 1

= 5ᵏ . 4 + 5ᵏ . 1 – 1

= 4 . 5ᵏ + 5ᵏ – 1

= (4 . 5ᵏ) + (5ᵏ – 1)

• (4 . 5ᵏ) sudah jelas habis dibagi 4
• (5ᵏ – 1) juga habis dibagi 4 (berdasarkan n = k)

Jadi (4 . 5ᵏ) + (5ᵏ – 1)  habis dibagi 4

Sehingga terbukti bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4, untuk setiap n bilangan asli

Pelajari lebih lanjut      

Contoh soal lain tentang induksi matematika

• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1): brainly.co.id/tugas/4665117
• Buktikan jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²: brainly.co.id/tugas/12819930
• 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = ⅓ n(n + 1)(n + 2): brainly.co.id/tugas/11180811

------------------------------------------------    

Detil Jawaban      

Kelas : 11

Mapel : Matematika  

Kategori : Induksi Matematika

Kode : 11.2.2

#AyoBelajar